Okay, hallo, guten Morgen, willkommen wieder zur Vorlesung.

Das letzte Mal haben Sie begonnen, sich Gedanken zu machen über Wärmestrahlung oder thermische Gitterschwingungen.

Die zentrale Idee dabei ist einfach, dass das elektromagnetische Feld oder auch die Schwingungen eines Kristallgitters nichts anderes sind als eine große Ansammlung unabhängiger harmonischer Oszillatoren.

Die Idee dahinter ist dann dasselbe, was Sie bei jedem mechanischen System machen könnten, das um eine Gleichgewichtslage herumschwingt.

Sie bekommen normal Schwingungsmoden und die sind unabhängig voneinander.

Es wurde Ihnen dann gezeigt, wie Sie für so einen Kristallgitter mit seinen vielen Atomen oder auch für das elektromagnetische Feld im Prinzip Lösungen haben könnten, die Ebene Wellen darstellen.

Und jede Ebene Welle wird charakterisiert durch einen Wellenvektor K.

Und diese Wellenvektoren K, wenn ich nun ein endliches System von endlicher Ausdehnung habe, die liegen auf einem Gitter, auf einem Raster sozusagen im K-Raum.

Der Abstand zwischen diesen einzelnen Rasterpunkten ist gerade 2π durch L, wenn L eben diese Ausdehnung des Kristallgitters, sagen wir, wäre oder die Ausdehnung des Volumens, indem Sie das elektromagnetische Feld betrachten.

Und das ist nun wichtig, weil am Ende wollen Sie wieder sagen, gut, ich habe für jeden dieser Gitterpunkte einen harmonischen Oszillator, der eben die ebenen Wellen mit gerade diesen Wellenvektor beschreibt.

Und ich möchte jetzt aber gar nicht mehr im Detail all diese Gitterpunkte auflösen, sondern ich will eigentlich nur noch ein Integral über alle Frequenzen erstrecken und ich muss deswegen wieder abzählen.

Ich muss abzählen, wie viele dieser Feldmoden sich befinden in einem gewissen Frequenzintervall.

Dafür kommt es mir halt entgegen, dass ich nun weiß, dass pro Rasterpunkt in diesem K-Raum ich ein gewisses Volumen habe, nämlich 2π dividiert durch L und dann hoch 3, wenn ich im Dreidimensionalen bin.

Und damit kann ich dann sofort abzählen, wie viele Wellenvektoren ich habe.

Ausgehend davon wurde dann die Zustandsdichte dieser Feldmoden eingeführt, gros d von ω und das ist das, was Sie am Ende der letzten Vorlesung diskutiert haben.

Also, gros d von ω mal dω wäre gerade die Zahl der Moden, also die Zahl der harmonischen Oszillatoren dann letztlich in diesem kleinen Frequenzintervall dω bei der Frequenz ω.

Und das werden wir dann im Folgenden benutzen, um ganz einfach die Summen über all diese harmonischen Oszillatoren in Integrale umzuwandeln.

Bevor wir aber dazu kommen, will ich Ihnen kurz zeigen, wie dann anhand einer Simulation, wie denn überhaupt das thermische Gleichgewicht in so einem Wellenfeld entstehen würde.

Und dazu wollen wir uns jetzt ein ganz einfaches Modell machen.

Wir wollen noch nicht mal an das elektromagnetische Feld denken, das hat ja immerhin die Maxwell-Gleichung und die sind vektoriell.

Das heißt, da müssen Sie den elektrischen Feldvektor und den magnetischen Feldvektor betrachten, sondern weil all diese Geschichten, wie das thermische Gleichgewicht ohnehin universell sind,

können wir es uns wieder erlauben, zu dem aller einfachsten Fall zurückzukehren.

Und der aller einfachste Fall für ein Feld ist natürlich ein Skalarisfeld, was bedeutet, dass Sie an jedem Punkt des Raumes eine Zahl kennen.

Die Zahl nennt man dann typischerweise Phi für Feld sozusagen.

Und wir machen es uns auch insofern einfach, als wir annehmen, wir haben ein Feld, was auf diskreten Raumpunkten definiert ist.

Das wäre zum Beispiel das Auslenkungsfeld im Kristallgitter, wenn Sie bei jedem Atom sich fragen, um wie viel ist das Atom jetzt in der Z-Richtung beispielsweise ausgelenkt.

Und das Modell, was wir uns also anschauen, wäre dieses, dass wir diskrete Gitterpunkte haben.

An jedem Gitterpunkt ist eine Auslenkung Phi j definiert.

Das mag ich mal so darstellen, dass wir kleine Massenpunkte haben, die um irgendeinen gewissen Betrag nach oben oder unten ausgelenkt sind.

Und die sollen miteinander gekoppelt sein durch Federn.

Und dann werden Sie natürlich Wellen haben, die propagieren in diesem Gitter.

Und Sie können die Bewegungsgleichungen dafür hinschreiben.

Betrachten wir Phi j, das soll die Auslenkung von diesem Platz sein.

Hier wäre dann Phi j plus eins und hier wäre Phi j minus eins.

Und ein solches Teilchen spürt nur die Kräfte, die ausgehen von seinen nächsten Nachbarn.

Das heißt, die Bewegungsgleichung wird dann doch diese Gestalt haben, Phi j, zweite Zeitableitung.

Das ist das Newton-Gesetz. Die Beschleunigung ist gleich der Kraft, dividiert durch die Masse.

Und die Kraft wird so aussehen, das können Sie sich leicht überlegen.

Sie haben hier Phi j plus eins plus Phi j minus eins minus zwei mal Phi j.

Das heißt, nur wenn die Auslenkungen verschieden sind, gibt es eine Kraft.

Und die Kraft hat zum Beispiel die Tendenz, dass wenn Phi j plus eins und Phi j minus eins größer sind als Phi j, dass dann das Phi j ebenfalls nach oben gezogen wird.

Oder in dem Bild habe ich es andersrum gemalt, dieses Phi j hätte eine Tendenz, durch die Kräfte dieser Federn nach unten gezogen zu werden.

Und das wird durch diese Gleichung beschrieben.

Man möchte dann noch die korrekten Vorfaktoren davor schreiben.

Das kann ja schon dimensionsmäßig nicht passen, weil hier eine zweite Zeitableitung steht und auf der rechten Seite steht noch keine Zeitableitung.

Und tatsächlich, wenn man sich das genauer überlegt, werden die Vorfaktoren so aussehen,

dass hier steht eins dividiert durch die Gitterkonstante zum Quadrat, die Gitterkonstante ist einfach der Abstand dieser Plätze.

Und davor dann die Geschwindigkeit, mit der die Wellen propagieren werden.

Sie könnten auch einfach irgendeine Konstante davor schreiben und Sie können dann ausrechnen, wie groß ist die Wellengeschwindigkeit.

Dann werden Sie finden, dass diese Beziehung gilt.